CPhill

avatar
यूजर का नामCPhill
स्कोर76145
Stats
सवाल 43
जवाब 20745

 #2
avatar+76145 
+1

                                                   3​         11          18          33         65         123            216

 

Frst differences                               8           7           15          32          58             93

 

Second differences                                -1          8           17           26          35

 

Third differences                                         9             9            9            9

 

 

Since we have   a constant difference in the third differences, this series can be represented by a cubic polynomial =

 

an^2   +  bn^2  + cn  + d           where   "n"  is  is the nth value of the sequence

 

We have that

 

a      +      b       +      c      +     d     =    3      →  -a   - b   - c  - d   =  -3      (1)

8a    +    4b       +   2c       +     d     =   11      (2)

27a  +    9b       +   3c       +    d      =   18      (3)

64a  +    16b    +    4c       +    d      =   33      (4)

 

 

Add (1) and (2),   (1) and (3)   and  (1)  and (4)....and we have

 

7a    +  3b  +  c     =  8      (5)

26a  +  8b  +  2c   =  15    (6)

63a  + 15b  + 3c  =  30     (7)

 

Multiply   (5)  by -2 add it to (6)    and    (5)  by -3 and  add it to (7) 

 

And we have

 

12a  + 2b  =  - 1      (8)

42a  + 6b  =   6        (9)

 

Multiply  (8)  by  - 3 and add it to (9)

 

6a   =  9       →    a   = 9/6  = 3/2

 

And   to find b we have that       12 (3/2)  + 2b  = - 1   →   2b  = -19 →  b  = -19/2

 

And to find c we have  7(3/2) + 3(-19/2)  + c  = 8  →  -36/2  + c  = 8  → 

-18 + c  = 8       →  c  = 26

 

And to find d  we have that

 

(3/2)  + (-19/2)  +  26  + d   = 3

-16/2   +  26  + d   = 3

-8 +  26  +  d  = 3

18  + d  = 3

c  = -15

 

So....our generating  function is     (3/2)n^3  - (19/2)n^2  + 26n  -  15

 

 

 

cool cool cool

CPhill 2017 Sep 22