Berechnung der Länge einer Kardioide

Berechnung der Bogenlänge einer Kurve, es gilt

$L(c) = \int \limits_{a}^{b} ||~ \dot c(t) ~|| \ dt$

$\begin{array}{lcl} \text{Für die Polarkoordinaten } r \equiv r(t) \text{ und } \varphi \equiv \varphi (t) \text{ gilt: }\\ \quad c(t) = \binom{\cos{(t)}}{\sin{(t)}} = ( \cos{(t)},\sin{(t)})^T \qquad \text{ für } a\le t \le b \\ \quad L(c) = \int \limits_{a}^{b} \sqrt{ \dot r^2 + r^2\cdot \dot\varphi^2 } \ dt. \end{array}$

Wir haben eine Kardioide (Herzlinie)  in Polarkoordinaten

$\begin{array}{rcl} L(c) &=& \int \limits_{0}^{2\pi} ||~ [~a\cdot(1+\cos{(t)}) ~]' ~|| \ dt \\\\ r(t) &=& a\cdot(1+\cos{(t)}) \\ \varphi(t) &=& t \\\\ \dot r(t) &=& -a\cdot \sin{(t)}\\ \left[ \dot r(t) \right]^2 &=& \dot r^2 = a^2\cdot \sin^2{(t)}\\ \left[ r(t)\right]^2 &=& r^2= a^2\cdot(1+\cos{(t)})^2 \\ \dot \varphi(t) &=& \dot\varphi = 1 \\ \left[ \dot \varphi(t) \right]^2 &=& \dot\varphi^2 = 1^2 = 1 \\ a&=& 0\\ b&=& 2\pi\\\\ L(c) &=& \int \limits_{a}^{b} \sqrt{ \dot r^2 + r^2\cdot \dot\varphi^2 } \ dt\\ L(c) &=& \int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{ \dot r^2 + r^2\cdot \dot\varphi^2 } \ dt\\ L(c) &=& \int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{ a^2\cdot \sin^2{(t)} + a^2\cdot(1+\cos{(t)})^2\cdot 1 } \ dt\\ &=& \int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{ a^2\cdot \sin^2{(t)} + a^2\cdot(1+2\cos{(t)}+\cos^2{(t)} )} \ dt\\ &=& a\cdot \int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{ \sin^2{(t)} + 1+2\cos{(t)}+\cos^2{(t)} } \ dt\\ &=& a\cdot \int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{ \sin^2{(t)} + \cos^2{(t)} + 1+2\cos{(t)} } \ dt\\ &=& a\cdot \int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{ 1 + 1+2\cos{(t)} } \ dt\\ &=& a\cdot \int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1+\cos{(t)}) } \ dt\\ &=& a\cdot \sqrt{2} \int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{ 1+\cos{(t)} } \ dt\\\\ && \boxed{~ \begin{array}{rcl} \text{Formel: } \\ \cos{(2\alpha)} &=& 2\cos^2{(\alpha)}-1\\ \cos{(\alpha)} &=& 2\cos^2{(\frac{\alpha}{2})}-1\\ 1+\cos{(\alpha)} &=& 2\cos^2{(\frac{\alpha}{2})}\\ \sqrt{1+\cos{(\alpha)}} &=& \sqrt{2}\cdot \cos{(\frac{\alpha}{2})}\\ \end{array} ~}\\\\ &=& a\cdot \sqrt{2} \int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{2}\cdot |~\cos{(\frac{t}{2})}~| \ dt\\ &=& 2a\cdot \int \limits_{0}^{2\pi} |~\cos{(\frac{t}{2})}~| \ dt\\ &=& 2a\cdot\left[ 2\cdot \int \limits_{0}^{\pi} \cos{(\frac{t}{2})}\ dt \right]\\ &=& 4a\cdot \int \limits_{0}^{\pi} \cos{(\frac{t}{2})}\ dt \\ &=& 4a\cdot \left[ 2\cdot \sin{(\frac{t}{2})} \right]_{0}^{\pi}\\ &=& 8a\cdot \left[ \sin{(\frac{\pi}{2})} - \sin{(\frac{0}{2})} \right]\\ &=& 8a\cdot \left[ 1 - 0 \right]\\ L(c) &=& 8a\\ \end{array}$

Die  Kardioide (Herzlinie) hat die Bogenlänge von 8a

Hallo, guten Tag Gast!

In dem bestimmten Integral gibt es eine Konstante T.

Für was steht T ?

Ist die Variable t eine Zeit oder eine Temperatur oder ein Winkel ?

Bitte teile uns noch etwas mehr von deinem interessanten Problem mit.

Gruß :- )

Hallo, guten  Morgen Gast!

Die Länge einer Kardiodide errechnet sich zu

L(a) = 2a * ^2π₀ ∫ sin (t / 2) dt

^2π₀ ∫ sin (t / 2) dt = ^2π₀II- 2cos (t / 2) II

= - 2cos (π) - (- 2cos (0))

= - 2 * (- 1) - (- 2 * 1)

= 4

L(a) = 2a * ^2π₀∫ sin (t / 2) dt = 2a * 4

L(a) = 8a

Hoffentlich hilft dir das etwas weiter. Freundliche Grüße von

asinus :- )

!

Heureka, ich bitte um Nachsicht! Ich war etwas länger dran und wollte es auch loswerden.