Ne Knalleraufgabe haha
Zeigen Sie über die Differenz der Funktionswerte f(x1) und f(x2) mit x1,x2∈R und x2>x1, dass (8∣256) das Extremum von f(x)=−4(x−8)2+256 mit x∈R ist, und bestimmen Sie dessen Art.
+3976 Die Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, die in Scheitelform angegeben ist. Daher kann der Scheitel S(8|256) eigentlich direkt abgelesen werden & auch 9.-Klässler könnten sagen, dass das der Hochpunkt sein muss. Wir können's aber natürlich auch über die gewünschten Differenzen regeln:
Dafür sei zunächst x1=8. Dann ist x2>8 beliebig. Wir betrachten die Differenz f(x2)-f(x1):
f(x2)-f(x1) =
f(x2)-f(8) =
-4*(x2-8)2+256 - (-4*(8-8)2+256) =
-4*(x2-8)2+256 - 256 =
-4*(x2-8)2 < 0.
Wir stellen also fest: Die Differenz dieser Funktionswerte ist stets negativ, d.h. nach x=8 erreicht die Funktion keinen größeren Wert mehr als f(8)=256.
Jetzt andersrum: Sei x2=8. Dann ist x1<8 beliebig. Wir betrachten die gleiche Differenz f(x2)-f(x1):
f(x2)-f(x1) =
f(8) - f(x1) =
-4*(8-8)2+256 - ( -4*(x1-8)2+256) =
256 + 4*(x1-8)2-256 =
4*(x1-8)2 >0
Wir stellen fest: Diese Differenz ist immer positiv. Das bedeutet: f(8) ist größer als jeder Wert links von x=8. Daher ist f(8) der größte Wert, den die Funktion erreicht. Der Punkt (8|256) ist also ein Hochpunkt.
