Hey, ich denke ich müsste hier die Potenzgesetze anwenden, weiß aber aufgrund der komplizierten Aufgabe nicht genau,
wo ich anfangen soll:
2x-3 * (2xy+x2)3
Könnte mir da jemand behilflich sein? ;-)
+14903 Hallo
\(\color{BrickRed}2x^3\cdot (2xy+x^2)^3\\ =2x^3\cdot(4x^2y^2+4x^3y+x^4)\cdot (2xy+x^2)\\ =2x^3\cdot (8x^3y^3+8x^4y^2+2x^5y+4x^4y^2+4x^5y+x^6)\\ \color{blue}=16x^6y^3+16x^7y^2+4x^8y+8x^7y^2+8x^8y+2x^9\)
!
+301 Ich hab den Ausgangsterm so verstanden, dass der Exponent über 2x negativ ist:
\(2x^{-3}*(2xy+x^2)^3 \)
Dabei fällt mir zunächst kein Potenzgesetz ein, mit dem man die Aufgabe unmittelbar "schöner" machen könnte.
Das einzige meiner Meinung nach in diesem Zustand des Terms anwendbare Potenzgesetz ist dass, das besagt, dass Zahlen und Unbekannte mit negativer Potenz vom Zähler in den Nenner eines Bruchs wandern und umgekehrt, je nachdem, ob sie erst im Zähler oder im Nenner stehen:
\(2*x^{-3}=\frac{2}{x^3}\)
Um die Aufgabe zu vereinfachen, würde ich zunächst das \((2xy+x^2)^3\)
ausrechnen, also die Klammer beseitigen.
Dabei würde ich mir das Pascallsche Dreieick zunutze machen, welches mir die Faktoren vor den einzelnen Teilen des Ergebnisses schnell darstellt.
1
/ \ / \
1 2 1 (a+b)² = 1*a² + 2*a*b + 1*b²
/ \ / \ / \
1 3 3 1 (a+b)³ = 1*a³ + 3*a²*b + 3*a*b² + 1*b³
Somit ergibt sich für unseren Term:
\((2xy+x^2)^3\)
\(={\color{red}1}*(2xy)^3+{\color{red}3}*(2xy)^2*x^2+{\color{red}3}*2xy*(x^2)^2+{\color{red}1}*(x^2)^3\)
Die roten Einsen habe ich nur da hin geschrieben, damit man das Schema erkennt. Die kann man natürlich auch weg lassen.
Jetzt kann man tatsächlich das Potenzgesetz anwenden, dass man den Exponenten einer Zahl, die in einer Klammer steht, mit dem Exponenten außerhalb der Klammer multiplizieren kann. Also im nächsten Schritt wird so zum Beispiel aus \((x^2)^3=x^6\)
Der nächste Schritt sieht also so aus: ich rechne alles zwischen den Plus-Zeichen aus:
\(=8x^3y^3+3*4x^2y^2*x^2+6xy*x^4+x^6\)
\(=8x^3y^3+12x^4y^2+6x^5y+x^6\)
Dies war ja aber nur eine Hilfrechnung. Ich erstze nun
\((2xy+x^2)^3\)
aus der Aufgabe am Anfang durch:
\(8x^3y^3+12x^4y^2+6x^5y+x^6\)
Somit lautet die Aufgabe nun:
\(2x^{-3}*(8x^3y^3+12x^4y^2+6x^5y+x^6)\)
Man kann sehen, das jeder Term in der Klammer mindestens x³ enthält. Somit kann man problemlos x³ ausklammern:
\(2x^{-3}*x^3*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)\)
Jetzt kann man eine von 2 Optionen wählen:
Entweder schreibt man das x mit dem negativen Exponenten in den Nenner (wobei der Exponent dann positiv wird),
\(\frac{2*x^3*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)}{x^3}\)
und kürzt x³ einfach weg:
\(2*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)\)
oder man wendet das Potenzgesetz an, dass man die Exponenten zweier gleicher Basen, die miteinander multipliziert werden, addieren kann:
\(2x^{-3}*x^3*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)\)
\(2x^{(-3+3)}*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)\)
Dann wird der Exponent über dem ersten x=0, wenn der Exponent 0 wird, wird egal, was Du für x einsetzt immer \(x^0=1\) gelten. Somit hast Du wieder:
\(2*(8y^3+12xy^2+6x^2y+x^3)\)
Jetzt kann einem noch auffallen, dass das, was in der Klammer steht, zufällig genau
\((2y+x)^3\)
entspricht.
Man kann also als Endergebnis
\(2x^{-3}*(2xy+x^2)^3 \)
\(=2*(2y+x)^3\)
schreiben. Viel schicker, oder ? Hoffentlich hab ich mich nicht verrechnet
Wenn ich mir das so angucke, könnte man fast vermuten, dass das mit dem Ausklammer von x³ vielleicht schon ganz am Anfang hätte klappen können. Da muss ich aber gestehen, dass ich dann nicht weiß, welches Potenzgesetz man da wie anwenden sollte, um quasi ohne den ganzen Kram dazwischen sofort ein schönes Ergebnis zu haben.
