Hier der Rest!
Für k >x ist eine Funktion fk gegeben, durch fk (x)=k×((-x^3)+3x+4). Bestimme k so, dass der Graph von fk mit der Tangente im Hochpunkt eine Fläche mit dem Inhalt 45 einschließt.
\(f_k(x)=k\times((-x^3)+3x+4)\)
\(f_k'=k\times(-3x^2+3)\)⇒ \(-3x^2+3=0 \) 1.Ableitung
\(x_{min, max} = \pm\sqrt{1}\) = \(\pm1\) Extrema
Maximum:
\(f(x_{max}) = k\times(-1 + 3+4) = 6k\) (Graph der Tangente)
Schnittpunkte mit fk(x):
\(f_k(x)=f(x_{max})\)
\(k\times(-x^3+3x+4)=6k\)
\(-x^3+3x+4=6\)
\(-x^3+3x-2=0\)
\(x_{S1}=-2; \ \ \ x_{S2}=1 \)
\(A_{f(x_{max})}=\int_{-2}^{1} \ 6k \, dx =\left[6kx\right]_{-2}^{1}=18k\)
\(A_{f_k}=\int_{-2}^{1} k(-x^3+3x+4) \, dx \)
\(A_{f_k}=\left[k(-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}+4x) \right]_{-2}^{1} \)
\(A_{f_k}=k(5\frac{1}{4}+48\frac{3}{4})=54k\)
\(A_{f(x_{max})}-A_{f_k} =18k-54k=-36k{\color{red}\ =45}\)
\({\color{blue}k= \frac{45}{-36}=-1\frac{1}{4}}\)
Ich muss das heute noch auf eventuelle Fehler überprüfen. Das negative k macht mich misstrauisch.
Gruß asinus :- ) 
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